فهم Savitzky-Golay التصفية في المعالجة المسبقة

لماذا تُعالَج الأطياف مسبقًا

تحمل أطياف الأشعة تحت الحمراء القريبة لعينات العمليات الصناعية، فوق إشارة الامتصاص الكيميائي، تأثيرات فيزيائية تتباين من عينة إلى أخرى: تشتت الضوء الذي يعتمد على حجم الجسيمات وتراصّها، وإزاحات جمعية في خط الأساس، وتغيرات ضربية في طول المسار الفعال [1]. وفي قياسات الانعكاس المنتشر تهيمن هذه التأثيرات على التباين الطيفي [2]، ولذلك تُستخدم المعالجة المسبقة لإزالتها مع الحفاظ على المعلومات الكيميائية قبل ملاءمة نموذج كمي مثل انحدار المربعات الصغرى الجزئية PLS. ويقسم Rinnan وزملاؤه طرق المعالجة المسبقة الشائعة لأطياف NIR إلى عائلتين: تصحيحات التشتت (MSC وSNV والتسوية) والمشتقات الطيفية، ويشيرون إلى أن مشتقة سافيتزكي-غولاي من أكثر طرق العائلة الثانية استخدامًا [1].

ما الذي يفعله مرشح سافيتزكي-غولاي

أظهر Savitzky وGolay عام 1964 أن ملاءمة كثير حدود منخفض الدرجة بطريقة المربعات الصغرى للنقاط الواقعة داخل نافذة متحركة، ثم أخذ قيمة كثير الحدود هذا عند مركز النافذة، تكافئ إجراء التفاف (convolution) للبيانات مع مجموعة ثابتة من الأوزان الصحيحة؛ وقد جدولا تلك الأوزان لنوافذ من 5 إلى 25 نقطة ولكثيرات الحدود من الدرجة الثانية/الثالثة والرابعة/الخامسة، للتنعيم وللمشتقات على حد سواء [3]. وصُحّحت أخطاء في بعض الجداول الأصلية في أوراق لاحقة [4][5]، وقدّم Gorry طريقة عامة لحساب الأوزان عند كل موضع داخل النافذة، وهو ما يحل أيضًا مشكلة فقدان النقاط الأولى والأخيرة عند طرفي الطيف [6].

ويترتب على ذلك نتيجتان. الأولى: لأن الأوزان لا تعتمد إلا على طول النافذة ودرجة كثير الحدود، فإن المرشح عملية ثابتة ذات استجابة نبضية منتهية (FIR) وزهيدة الكلفة الحسابية [3][7]. والثانية: مقارنةً بالمتوسط المتحرك بالطول نفسه، يحافظ مرشح سافيتزكي-غولاي على ارتفاع القمة وعرضها بصورة أفضل، مقابل كبت أقل بعض الشيء للضوضاء [7]. وفي الصياغة الكلاسيكية تحتوي النافذة على عدد فردي من النقاط، 2m + 1، بحيث تتمركز حول النقطة المراد تقديرها، ويجب أن تكون البيانات متساوية التباعد [3].

المشتقات وخط الأساس والحزم المتداخلة

تعطي ملاءمة المربعات الصغرى نفسها مشتقات الطيف: فالمشتقتان الأولى والثانية لكثير الحدود الملاءَم عند مركز النافذة هما أيضًا عمليتا التفاف بأوزان ثابتة [3]. وتُستخدم المشتقات بسبب ما تزيله وما تكشفه [1]:

• المشتقة الأولى: تزيل الإزاحة الثابتة (الجمعية) لخط الأساس وتُظهر الميل المحلي للطيف.
• المشتقة الثانية: تزيل كلًّا من الإزاحة الثابتة والميل الخطي لخط الأساس؛ وتظهر قمم الامتصاص على هيئة حزم سالبة، ما يساعد على فصل المعالم المتداخلة [1][8].

يضخّم الاشتقاق الضوضاء عالية التردد، ولهذا تُحسب المشتقة مع التنعيم في خطوة واحدة، ولهذا أيضًا يكون لطول النافذة أهميته. ويبيّن Luo وزملاؤه أن التباين والاستبانة اللذين يمكن الحصول عليهما من مُشتِّق سافيتزكي-غولاي يعتمدان على نسبة عرض المعلم الطيفي إلى طول المرشح، وأن المرشحات الطويلة لا تحافظ جيدًا على التفاصيل الدقيقة في المشتقة [9].

اختيار طول النافذة ودرجة كثير الحدود

لا يوجد إعداد عام يصلح لكل الحالات. فقد وجد Zimmermann وKohler، في عملهما بنماذج PLS على بيانات أشعة تحت حمراء محاكاة ومقيسة، أن النافذة المثلى تعتمد على المكوّن المراد تقديره كميًا، وأن مستوى الضوضاء الطيفية يعطي دليلًا تقريبيًا لطول النافذة، وأن كلًّا من النافذة ودرجة كثير الحدود ينبغي أن يُحسَّنا لكل تطبيق على حدة بدلًا من نسخهما من إعداد افتراضي [8]. ولذلك فإن الإجراء العملي هو التعامل مع طول النافذة ودرجة كثير الحدود ورتبة المشتقة بوصفها معاملات فائقة للنموذج، ومقارنة الإعدادات المرشحة بخطأ التحقق المتقاطع، والتأكد من أن المشتقة المختارة لا تمحو الحزم الضيقة التي يعتمد عليها النموذج [8][9]. ويُلاحظ أنه في التنعيم وفي المشتقات ذات الرتب الزوجية يعطي كثير الحدود من الدرجة الثانية وكثير الحدود من الدرجة الثالثة أوزان سافيتزكي-غولاي نفسها، ومن ثم لا يضيف إعداد “تكعيبي” شيئًا على “تربيعي” للمشتقة الثانية [3].

سافيتزكي-غولاي في caliX

في حزمة caliX تُضبط مرشحات التنعيم والاشتقاق لسافيتزكي-غولاي في خطوة المعالجة المسبقة ضمن تطوير النموذج، حيث يُحدَّد طول النافذة ودرجة كثير الحدود ورتبة المشتقة وتُقارن الإعدادات المرشحة بخطأ التحقق المتقاطع، وفقًا للنهج الذي وصفه Zimmermann وKohler [8].