Comprendre le filtrage Savitzky-Golay dans le prétraitement

Pourquoi les spectres sont prétraités

Les spectres proche infrarouge d'échantillons de procédé portent, en plus du signal d'absorption chimique, des effets physiques qui varient d'un échantillon à l'autre : une diffusion de la lumière qui dépend de la taille des particules et de leur tassement, des décalages additifs de ligne de base et des variations multiplicatives du trajet optique effectif [1]. En réflexion diffuse, ces effets dominent la variance spectrale [2] ; avant d'ajuster un modèle quantitatif tel qu'une régression PLS, on applique donc un prétraitement pour les éliminer tout en préservant l'information chimique. Rinnan et al. répartissent les méthodes courantes de prétraitement NIR en deux familles, les corrections de diffusion (MSC, SNV, normalisation) et les dérivées spectrales, et notent que la dérivée de Savitzky-Golay est l'une des plus utilisées de la seconde [1].

Ce que fait le filtre de Savitzky-Golay

Savitzky et Golay ont montré en 1964 que l'ajustement par moindres carrés d'un polynôme de faible degré aux points d'une fenêtre glissante, suivi de la prise de la valeur de ce polynôme au centre de la fenêtre, équivaut à convoluer les données avec un jeu fixe de poids entiers ; ils ont tabulé ces poids pour des fenêtres de 5 à 25 points et pour des polynômes quadratiques/cubiques et quartiques/quintiques, tant pour le lissage que pour les dérivées [3]. Des erreurs dans certaines tables originales ont été corrigées dans des articles ultérieurs [4][5], et Gorry a donné une méthode générale pour calculer les poids à chaque position de la fenêtre, ce qui résout aussi la perte des premiers et derniers points aux extrémités d'un spectre [6].

Deux conséquences en découlent. Premièrement, comme les poids ne dépendent que de la longueur de la fenêtre et du degré du polynôme, le filtre est une opération à réponse impulsionnelle finie fixe, peu coûteuse à appliquer [3][7]. Deuxièmement, par rapport à une moyenne mobile de même longueur, un filtre de Savitzky-Golay préserve mieux la hauteur et la largeur des pics, au prix d'une suppression du bruit un peu moindre [7]. Dans la formulation classique, la fenêtre comporte un nombre impair de points, 2m + 1, afin d'être centrée sur le point estimé, et les données doivent être équidistantes [3].

Dérivées, lignes de base et bandes qui se chevauchent

Le même ajustement par moindres carrés fournit les dérivées du spectre : les dérivées première et seconde du polynôme ajusté au centre de la fenêtre sont elles aussi des convolutions à poids fixes [3]. Les dérivées sont utilisées pour ce qu'elles éliminent et pour ce qu'elles révèlent [1] :

• Dérivée première : élimine un décalage constant (additif) de la ligne de base et montre la pente locale du spectre.
• Dérivée seconde : élimine à la fois le décalage constant et une pente linéaire de la ligne de base ; les maxima d'absorption apparaissent comme des bandes négatives, ce qui aide à séparer les structures qui se chevauchent [1][8].

La dérivation amplifie le bruit à haute fréquence ; c'est pourquoi la dérivée est calculée conjointement avec le lissage en une seule étape, et pourquoi la longueur de la fenêtre importe. Luo et al. montrent que le contraste et la résolution obtenus avec un dérivateur de Savitzky-Golay dépendent du rapport entre la largeur de la structure et la longueur du filtre, et que les petits détails des dérivées sont mal préservés par les filtres longs [9].

Choisir la longueur de fenêtre et l'ordre du polynôme

Il n'existe pas de réglage universel. Zimmermann et Kohler, travaillant avec des modèles PLS sur des données infrarouges simulées et mesurées, ont constaté que la fenêtre optimale dépend du constituant quantifié, que le niveau de bruit spectral donne une indication approximative de la longueur de fenêtre, et que la fenêtre comme l'ordre du polynôme doivent être optimisés pour chaque application plutôt que repris d'une valeur par défaut [8]. Une démarche pratique consiste donc à traiter la longueur de fenêtre, le degré du polynôme et l'ordre de dérivation comme des hyperparamètres du modèle, à comparer les réglages candidats par l'erreur de validation croisée et à vérifier que la dérivée retenue n'efface pas les bandes étroites sur lesquelles repose le modèle [8][9]. Notez que, pour le lissage et les dérivées d'ordre pair, un polynôme quadratique et un polynôme cubique donnent des poids de Savitzky-Golay identiques ; un réglage “cubique” n'apporte donc rien de plus que “quadratique” pour une dérivée seconde [3].

Savitzky-Golay dans caliX

Dans la suite caliX, les filtres de lissage et de dérivation de Savitzky-Golay se configurent à l'étape de prétraitement du développement du modèle, où l'on fixe la longueur de fenêtre, le degré du polynôme et l'ordre de dérivation et où les réglages candidats sont comparés par l'erreur de validation croisée, suivant l'approche décrite par Zimmermann et Kohler [8].