Grundlegendes zur Savitzky-Golay-Filterung in der Vorverarbeitung

Warum Spektren vorverarbeitet werden

Nahinfrarotspektren von Prozessproben tragen zusätzlich zum chemischen Absorptionssignal physikalische Effekte, die von Probe zu Probe variieren: Lichtstreuung in Abhängigkeit von Partikelgröße und Packung, additive Basislinienverschiebungen und multiplikative Änderungen der effektiven Weglänge [1]. In diffusen Reflexionsmessungen dominieren diese Effekte die spektrale Varianz [2]; bevor ein quantitatives Modell wie die PLS-Regression angepasst wird, werden sie daher durch Vorverarbeitung entfernt, wobei die chemische Information erhalten bleiben soll. Rinnan et al. teilen die gängigen NIR-Vorverarbeitungsmethoden in zwei Familien ein, Streukorrekturen (MSC, SNV, Normierung) und spektrale Ableitungen, und merken an, dass die Savitzky-Golay-Ableitung zu den am häufigsten verwendeten der letzteren zählt [1].

Was der Savitzky-Golay-Filter macht

Savitzky und Golay zeigten 1964, dass die Anpassung eines Polynoms niedrigen Grades nach der Methode der kleinsten Quadrate an die Punkte innerhalb eines gleitenden Fensters und die Auswertung dieses Polynoms in der Fenstermitte gleichbedeutend ist mit der Faltung der Daten mit einem festen Satz ganzzahliger Gewichte; sie tabellierten diese Gewichte für Fenster von 5 bis 25 Punkten und für quadratische/kubische sowie quartische/quintische Polynome, sowohl für die Glättung als auch für Ableitungen [3]. Fehler in einigen der ursprünglichen Tabellen wurden in späteren Arbeiten korrigiert [4][5], und Gorry gab ein allgemeines Verfahren zur Berechnung der Gewichte an jeder Position im Fenster an, das zugleich den Verlust der ersten und letzten Punkte an den Enden eines Spektrums behebt [6].

Daraus folgen zwei Konsequenzen. Erstens: Da die Gewichte nur von Fensterbreite und Polynomgrad abhängen, ist der Filter eine feste Operation mit endlicher Impulsantwort und mit geringem Rechenaufwand anwendbar [3][7]. Zweitens: Im Vergleich zu einem gleitenden Mittelwert gleicher Länge erhält ein Savitzky-Golay-Filter Peakhöhe und Peakbreite besser, auf Kosten einer etwas geringeren Rauschunterdrückung [7]. In der klassischen Formulierung hat das Fenster eine ungerade Anzahl von Punkten, 2m + 1, sodass es auf den zu schätzenden Punkt zentriert ist, und die Daten müssen äquidistant sein [3].

Ableitungen, Basislinien und überlappende Banden

Dieselbe Kleinste-Quadrate-Anpassung liefert Ableitungen des Spektrums: Die erste und die zweite Ableitung des angepassten Polynoms in der Fenstermitte sind wiederum Faltungen mit festen Gewichten [3]. Ableitungen werden wegen dessen verwendet, was sie entfernen und was sie sichtbar machen [1]:

• Erste Ableitung: entfernt eine konstante (additive) Basislinienverschiebung und zeigt die lokale Steigung des Spektrums.
• Zweite Ableitung: entfernt sowohl die konstante Verschiebung als auch eine lineare Basisliniensteigung; Absorptionsmaxima erscheinen als negative Banden, was die Trennung überlappender Merkmale erleichtert [1][8].

Die Differentiation verstärkt hochfrequentes Rauschen; deshalb wird die Ableitung zusammen mit der Glättung in einem einzigen Schritt berechnet, und deshalb ist die Fensterbreite von Bedeutung. Luo et al. zeigen, dass Kontrast und Auflösung, die sich mit einem Savitzky-Golay-Differenzierer erzielen lassen, vom Verhältnis der Merkmalsbreite zur Filterlänge abhängen und dass kleine Details der Ableitung von langen Filtern nicht gut erhalten werden [9].

Wahl von Fensterbreite und Polynomgrad

Es gibt keine universelle Einstellung. Zimmermann und Kohler fanden bei der Arbeit mit PLS-Modellen an simulierten und gemessenen Infrarotdaten, dass das optimale Fenster von der zu quantifizierenden Komponente abhängt, dass das spektrale Rauschniveau einen groben Anhaltspunkt für die Fensterbreite gibt und dass sowohl das Fenster als auch der Polynomgrad für jede Anwendung optimiert und nicht aus einer Voreinstellung übernommen werden sollten [8]. Ein praktisches Vorgehen besteht daher darin, Fensterbreite, Polynomgrad und Ableitungsordnung als Hyperparameter des Modells zu behandeln, Kandidateneinstellungen anhand des Kreuzvalidierungsfehlers zu vergleichen und zu prüfen, dass die gewählte Ableitung die schmalen Banden, auf die sich das Modell stützt, nicht auslöscht [8][9]. Zu beachten ist, dass für die Glättung und für Ableitungen gerader Ordnung ein quadratisches und ein kubisches Polynom identische Savitzky-Golay-Gewichte liefern, sodass eine Einstellung „kubisch“ gegenüber „quadratisch“ für eine zweite Ableitung keinen Zugewinn bringt [3].

Der Savitzky-Golay-Filter in caliX

In der caliX-Suite werden die Savitzky-Golay-Glättungs- und Ableitungsfilter im Vorverarbeitungsschritt der Modellentwicklung konfiguriert; dort werden Fensterbreite, Polynomgrad und Ableitungsordnung festgelegt und Kandidateneinstellungen anhand des Kreuzvalidierungsfehlers verglichen, nach dem von Zimmermann und Kohler beschriebenen Ansatz [8].